Описание дефекта по ГОСТ Р 55724-2013 года

[dea135]

Возьмём формулу Х=СТ/2. Для погрешности X пользуясь формулой (2.11) получим dX^2=(C/2*dT)^2+(T/2*dC)^2

дифференциал это же разница между значениями функций в начальной точке и следущей. у нас две функции - скорость и время, поэтому их дифференциал будет таким:
d(СТ/2)= d(C)*T/2+d(T)*C/2= ΔC*T/2+ΔT*C/2= (ΔC*T+ΔT*C)/2

где d-обозначение дифференциала, Δ- обозначение погрешности соответствующей величины. Остальные буквы как обычно. производные от С и Т равны 1.
теперь анализ:
здесь ΔT*C постоянная величина, причем за счет малости погрешности времени имеет небольшое значение. Под погрешностью ΔT можно понимать не только инструментальную погрешность, а в первую очередь определение погрешности из-за особенностей фронта волны и нестабильности контакта, а ΔC*T это погрешность пропорциональная времени, т.е. в формуле представлена как 0,01*Н. вот вам и формула 0,1+0,01*Н.
никакой вероятности здесь нет. можно рассматривать погрешности ΔC и ΔT как вероятностные величины, распределенные по нормальному закону и таким образом ввести доверительные интервалы, но мне кажется, что проще оценить граничные значения погрешностей скорости и времени и получить консервативное значение абсолютной погрешности.

 

[Kaktus_SPb]

дифференциал это же разница между значениями функций в начальной точке и следущей. у нас две функции - скорость и время, поэтому их дифференциал будет таким:
d(СТ/2)= d(C)*T/2+d(T)*C/2= ΔC*T/2+ΔT*C/2= (ΔC*T+ΔT*C)/2

где d-обозначение дифференциала, Δ- обозначение погрешности соответствующей величины. Остальные буквы как обычно. производные от С и Т равны 1.
теперь анализ:
здесь ΔT*C постоянная величина, причем за счет малости погрешности времени имеет небольшое значение. Под погрешностью ΔT можно понимать не только инструментальную погрешность, а в первую очередь определение погрешности из-за особенностей фронта волны и нестабильности контакта, а ΔC*T это погрешность пропорциональная времени, т.е. в формуле представлена как 0,01*Н. вот вам и формула 0,1+0,01*Н.
никакой вероятности здесь нет. можно рассматривать погрешности ΔC и ΔT как вероятностные величины, распределенные по нормальному закону и таким образом ввести доверительные интервалы, но мне кажется, что проще оценить граничные значения погрешностей скорости и времени и получить консервативное значение абсолютной погрешности.

Сергей пытается Вам объяснить как считается погрешность при косвенных измерениях, толщиномер ведь измеряет время, а на экран выводит расстояние (толщину)

 

[metelev]

дифференциал это же разница между значениями функций в начальной точке и следущей. у нас две функции - скорость и время, поэтому их дифференциал будет таким:
d(СТ/2)= d(C)*T/2+d(T)*C/2= ΔC*T/2+ΔT*C/2= (ΔC*T+ΔT*C)/2

Формула правильная, но для вычисления погрешности её использовать нельзя.

Объясню на простом примере. Допустим у нас есть линейка длиной 80 сантиметров, а нам надо отмерить примерно 1.5 метра. Придётся разбить отрезок на две части примерно по 75 сантиметров и делать измерение в два приёма. Результат общего измерения естественно будет равен сумме результатов отдельных измерений. Чему будет равна ошибка?

Сначала не про погрешность, ещё упростим. Допустим мы делаем только одно измерение каждой части. Если бы мы знали точные значения длин двух отдельных отрезков, то могли бы вычислить невязку, -- разницу результата измерения и точной величины, -- для каждого из отрезков. И невязка суммарной длины была бы суммой отдельных невязок.

И эта сумма невязок соответствовала бы той формуле с дифференциалом, которая у Вас получилась.

Но у нас нет невязки, у нас есть погрешность. Мы не знаем, какую по величине и по знаку мы допустили неточность при измерении. Чтобы получить погрешность результата мы должны возвести каждую из исходных погрешностей в квадрат, сложить, и вычислить квадратный корень.

Так надо делать при измерении длины в два приёма.

В нашем примере с толщиномером ещё надо учесть, что мы делаем косвенное измерение, как Андрей Васильевич правильно сказал. Поэтому надо погрешность умножить на производную и далее уже возводить в квадрат как в формуле 2.11. У Вас почти то же самое, но без квадратов и вычисления корня. То есть вместо (ΔC*T+ΔT*C)/2 должно быть Sqrt((ΔC*T/2)^2+(ΔT*C/2)^2)

Результат конечно будет иметь вероятностный смысл.

Дальше надо это анализировать, как можно упростить. Думаю, скорее всего метрологи получившуюся зависимость от времени линейно аппроксимируют на разных участках, чтобы не писать громоздкие формулы.

 

[dea135]

У Вас почти то же самое, но без квадратов и вычисления корня.

конечно, в этом весь смысл. я могу определить граничные значения величин скорости и погрешности времени.
теперь вам, чтобы перейти к вероятностным оценкам нужно иметь какую-то выборку, нужно проверить гипотезу о соответствии нормальному закону (если другому закону, то еще может сложнее), получить все эти квадратические зависимости и дисперсии.
ну вот откуда возьмутся величины ΔT и ΔC? сначала их нужно измерить, вот примерно так как я писал

можно рассматривать погрешности ΔC и ΔT как вероятностные величины, распределенные по нормальному закону и таким образом ввести доверительные интервалы

это довольно громоздко.

Формула правильная, но для вычисления погрешности её использовать нельзя.

почему нельзя? просто эта формула более жесткая, чем та которую вы привели. оценка погрешности будет более консервативная и все.

 

[dea135]

Объясню на простом примере. Допустим у нас есть линейка длиной 80 сантиметров, а нам надо отмерить примерно 1.5 метра. Придётся разбить отрезок на две части примерно по 75 сантиметров и делать измерение в два приёма. Результат общего измерения естественно будет равен сумме результатов отдельных измерений. Чему будет равна ошибка?

ошибка будет равна цене деления, погрешность измерения это половина цены деления, а два измерения при консервативной оценке дадут цену деления. если использовать вероятностный подход, то нужно знать дисперсии и среднеквадратические отклонения, а для этого сначала нужно измерения провести. если количество измерений большое, то можно так как вы написали, там вероятность начнет работать, а консервативная оценка, когда все погрешности суммируются, будет неприемлемо большой. но вот когда только два измерения, то правильно измерять консервативно- вероятностный механизм еще не работает, или точнее тогда доверительная вероятность будет низкой или при большой доверительной вероятности погрешность будет такой же как при консервативном измерении (или даже больше, если по нормальному закону).
я хотел бы увидеть как метрологи пришли к формуле 0.1+0.01Н, что в паспорте то на прибор написано?

 

[metelev]

когда только два измерения, то правильно измерять консервативно- вероятностный механизм еще не работает

Что значит "не работает вероятностный механизм"?

Мы можем измерять длину этого отрезка до морковкиного заговенья, и каждый раз получать случайный результат. То есть вероятностный механизм работает с первого раза

Спойлер

Результат случайный, но про него тем не менее можно что-то определённое сказать. Вот это определённое нас интересует. Определённое это (1) среднее значение и (2) дисперсия. Если распределение не соответствует нормальному, то ещё можно что-то про него сказать, но сейчас не об этом речь.

Так вот, про среднее значение мы можем что-то сказать уже с "первого выстрела". Про дисперсию уже с двух. Только оценка будет чуть более грубая. Чем больше измерений, тем точнее.

Дисперсия это сигма^2. При помощи Стьюдента оценка получается грубая, но не заниженная, как она получается если пользоваться формулой для s. Их вообще-то надо все различать, сигму от s, матожидание от среднего. Ведь среднее это тоже случайная величина, со своей погрешностью измерения. Дисперсия это тоже случайная величина. И у неё тоже есть своя погрешность измерения. Но не будем в дебри лезть.

Ценность честного вычисления погрешности в том, что это понятная величина. Если это 2*сигма, то с вероятностью 0.95 мы попадаем в диапазон величина+-2*сигма. Конечно, при всяких условиях, типа нормальности распределения и т.п. А когда это просто "консервативная оценка", то мы ничего про неё не знаем.

Собственно говоря и вопрос возник из-за того, что непонятно, что за оценка в методичке на толщиномер.

Величина ошибки при оценке дисперсии понятна. На примере суммы двух отрезков: если по-честному считать для погрешности корень, и если погрешность отдельного измерения не меняется раз от раза, то получим Sqrt(2)*сигма Если просто консервативно сложить, то получим 2*сигма. То есть ошибка почти в 1.5 раза. Это существенно или нет? Не знаю, наверное может быть и существенным и несущественным.

Откуда берётся формула 0.1+0.01Н -- хороший вопрос. На самом деле, если внимательно посмотреть, это ведь даже и не погрешность. Если бы это была сама погрешность, -- представим себе что мы идеально точно её оценили, -- уже в силу этого мы бы получали при своих вычислениях значения как ниже, так и выше этой точной погрешности, потому что она сама это то, что получалось бы при усреднении отдельных вычислений погрешностей. И поэтому в половине случаев наш корректно работающий толщиномер не проходил бы поверку.

Величина для поверки по необходимости должна браться с некоторым запасом.

Обратите внимание, там 2 формулы. Для крайних толщин, как маленьких, так и больших, 0.1+0.01H, а для серединки 0.05+0.01H Как Вы это объясните в рамках своей консервативной теории?

PS Ерунду написал. Ехал домой и думал, что же это я написал. В методичке же и не просят считать среднеквадратичное отклонение при поверке. И 5 измерений просят делать. Так что вполне может быть, что формула 0.1+0.01H это оценка погрешности. Сигма или 2*сигма. А то, что они не стыкуются при переходе с диапазона на диапазон, так это уж как водится при использовании приближённых формул.

 

[dea135]

Что значит "не работает вероятностный механизм"?

Мы можем измерять длину этого отрезка до морковкиного заговенья, и каждый раз получать случайный результат. То есть вероятностный механизм работает с первого раза

речь о том, что теория вероятности работает на статистических данных. вот ваш пример с измерением линейкой. положим я сделал два измерения этой линейкой. погрешность каждого измерения пол цены деления, а что будет с двумя измерениями- они могут сложиться или отняться и это равновероятно, поэтому здесь логично считать, что погрешности сложатся и мы получим погрешность измерения в цену деления линейки. а теперь я измерил длинномер, скажем, 1000 измерений, что будет с погрешностью? если все работает случайно, то погрешность нашего измерения будет близка к нолю. в пределе при бесконечном числе измерений погрешность станет нолем. (в этом примере случайная погрешность измерения имеет равномерное распределение). вот это работа механизма вероятности, а на двух-трех измерениях этот механизм тоже работает, но крайне плохо.

 

[dea135]

Обратите внимание, там 2 формулы. Для крайних толщин, как маленьких, так и больших, 0.1+0.01H, а для серединки 0.05+0.01H Как Вы это объясните в рамках своей консервативной теории?

это то я легко объясню. я вот выкладывал методику поверки, можно посмотреть выше в моих постах, а здесь вот эта часть, на которую вы указали.
8.4.6 Результаты поверки считаются положительными, если для образцов абсолютная погрешность не превышает следующих значений, мм, где X-измеряемая толщина:
- при толщинах от 0,7 до 3,0 мм ±(0,01X+0,1);
- при толщинах от 3,01 до 99,99 мм ±(0,01X+0,05);
- при толщинах от 100,0 до 300,0 мм ±(0,01X+0,1).

так вот, на малых толщинах увеличивается ошибка измерения времени (путь становится V-образным, плюс форма импульса меняется при небольших толщинах), а на больших тоже погрешность измерения времени увеличивается из-за затухания волны- фронт становится более пологим- высокие частоты затухают быстрее) вот это все приводит к необходимости закладывать в формулу d(СТ/2)= ΔC*T/2+ΔT*C/2 более высокое значение величины ΔT (оценка погрешности времени прихода). вот так эти интервалы и появляются.

 

[astrut]

вот ваш пример с измерением линейкой. положим я сделал два измерения этой линейкой. погрешность каждого измерения пол цены деления

Пример с линейкой - классический, но аналоговый. В цифровых шалах не цд (цена деления), а емр - единица младшего разряда. Вроде, похоже, но не совсем. Аддитивная составляющая основной погрешности цифрового прибора, наверное, не может быть меньше 1 емр. В ваших рассуждениях про 0,05, наверное, имелся в виду толщиномер с дискретом в 0,01?

 

[metelev]

а теперь я измерил длинномер, скажем, 1000 измерений

Имеется в виду 1000 раз одно и то же или короткой линейкой большое расстояние, так что в совокупности получилось 1000 измерений? Как написано вроде второй вариант, но погрешность при этом конечно не будет близка к нулю. Есть простой пример: когда размечают заготовку для детали все расстояния стараются отмерять от одной линии. Потому что иначе погрешность накапливается.

на малых толщинах увеличивается ошибка измерения времени [...], а на больших тоже погрешность измерения времени увеличивается из-за затухания волны- фронт становится более пологим [...] вот это все приводит к необходимости закладывать в формулу d(СТ/2)= ΔC*T/2+ΔT*C/2 более высокое значение величины ΔT

Спасибо. Однако если делать как положено, возводить в квадрат и брать корень, эта же логика будет работать. А линейность получается просто как аппроксимация прямой линией на некотором участке.

 

[lona53]

Может быть, конечно, в УЗТ какие-то особенные косвенные измерения) А так- есть ведь куча прекрасных букварей на эту тему.
Например,

http://library.mephi.ru/pdftunnel.php?Z21FAMILY=%D0%9F%D0%B0%D0%BA%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B0&Z21ID=49730&PATH=book-mephi%2FUIL%2FAksenova_Metody_ocenki_pogreshnostej_rezultatov_pryamyh_i_kosvennyh_izmerenij_v_laboratoriyah_fizicheskogo_praktikuma_2009.pdf

 

[metelev]

есть ведь куча прекрасных букварей на эту тему. Например,

Спасибо. Отличная книжка. По нашей беседе наверное сложно понять, но стартовой точкой послужило обсуждение, что именно написано в методичке по поверке толщиномера. Там написано ±(0,01X+0,05), где X это измеряемая толщина. Методика поверки требует пятикратного измерения толщины эталона, усреднения и сравнения результата и эталонного значения. Если отличие превышает вышеуказанную величину, значит поверку не прошёл.

Теперь вопросы, которые мы обсуждаем: 1) эту величину из методички можно ли считать погрешностью измерения? 2) если да, то какая доверительная вероятность соответствует этой погрешности? 3) почему она записана в линейном виде, хотя настоящая формула должна включать в себя корень и квадраты отдельных погрешностей?

 

[lona53]

Теперь вопросы, которые мы обсуждаем

То есть - корректно ли написана конкретная методика?

 

[dea135]

Имеется в виду 1000 раз одно и то же или короткой линейкой большое расстояние

большое расстояние одной небольшой линейкой, это был ваш пример и я его просто продолжил, но если считать общую погрешность в измерении отдельных расстояний то среднее арифметическое общей погрешности тоже будет стремиться к нолю. когда измеряем линейкой, то погрешность будет половина цены деления, мы визуально можем определить больше или меньше половины деления. аналоговая линейка.

Как написано вроде второй вариант, но погрешность при этом конечно не будет близка к нулю.

будет равна нулю. когда вы прикладываете линейку, то ошибка может быть равновероятна в плюс или в минус, а среднее арифметическое такой ошибки будет стремиться к нулю. вот такой пример. вы с помощью линейки отмеряете, скажем, 1 метр и отрезаете из общего рулона. После 1000 отмеров сколько метров вы забрали из общего рулона? если откинуть субъективизм и желание чуть-чуть недодать, то израсходуется ровно 1000 метров с очень небольшой погрешностью- сумма погрешностей всех отрезанных метров будет стремиться к нолю. я думаю вы уже поняли и разжевывать дальше не буду.

Есть простой пример: когда размечают заготовку для детали все расстояния стараются отмерять от одной линии. Потому что иначе погрешность накапливается.

если правильно все делать, то она не накапливается, но точность отдельных позиций может иметь заметную погрешность. точно по теории вероятности- всегда есть вероятность, что три измерения могут быть с одним знаком и сложатся и поэтому мерная позиция будет иметь тройную погрешность. это мы обсуждали про механизм работы вероятности. но еще раз, этот механизм работает при каком то относительно большом количестве измерений или случаев, а когда два-три, то какая там статистика?

 

[metelev]

То есть - корректно ли написана конкретная методика?

Предположим, что методичка написана корректно. Она озаглавлена "методика поверки". Хочется применить пределы, которые там указаны, при реальных измерениях, как погрешности.

будет равна нулю. когда вы прикладываете линейку, то ошибка может быть равновероятна в плюс или в минус, а среднее арифметическое такой ошибки будет стремиться к нулю.

Нет. Это называется парадокс
Это очень известная задача, называется "задача о случайных блужданиях". Да, при том что матожидание будет равно нулю. Матожидание это если просуммировать бесконечное количество членов. Но если мы проделаем N шагов (а не бесконечное количество), то скорее всего окажемся на расстоянии ~ Sqrt(N) от нуля. Там ещё коэффициент.

Тут ещё много чего можно сказать. Например, что когда нет абсолютной сходимости важен порядок, в котором производится суммирование. Но я не буду. Хотя вот хороший вопрос. Если суммировать ряд 1, -1, 1, -1 и т.д. до бесконечности, какая будет сумма?

Если вернуться к погрешностям, и использовать правильную формулу это тоже видно. Если погрешность на одном шаге S, то за N шагов будет S*sqrt(N), потому что общая погрешность складывается из суммы квадратов S, один S^2 на каждое измерение.

Спойлер: ещё немного поговорить

А вот относительная погрешность падает. Если одно измерение это расстояние L, то для N измерений расстояние NL. Если одна погрешность это S, то после N измерений будет S*sqrt(N). Относительная погрешность для одного измерения это S/L, а после N измерений 1/sqrt(N)*S/L

Если мы делаем много измерений одного и того же отрезка, то погрешности две. (Точнее не погрешности, а среднеквадратичные отклонения). Я вот про эти две погрешности долго не понимал, что они каждая для своей величины. Есть погрешность, связанная с одиночным измерением, и есть погрешность, связанная со средним. Если первая S, то вторая, после N измерений, будет S/sqrt(N)

У медиков хорошие книжки про вероятности. Потому что они не специалисты в математике, статистика им нужна, а там много подводных камней. Одна из известных книжек Гланц "Медико-биологическая статистика". Ещё какие-то, я сейчас не помню уже. Прямо вот на пальцах объясняется.

Спойлер: про ряд

Напишу сразу же ответ про ряд +1-1+1-1+1-1...
Если рассматривать частичные суммы ряда, -- то есть первый член, потом сумму первых двух, потом сумму первых трёх и т.д., то получим следующий ряд:
1
1-1=0
1-1+1=1
1-1+1-1=0
и т.д., то есть
1,0,1,0,1,0...
Ясно, что хотя предела у него нет. Если всё же если назначить какое-то число пределом, то это будет 1/2, а вовсе не 0, как хочется с ходу написать глядя на исходный ряд.

 

[lona53]

Предположим, что методичка написана корректно. Она озаглавлена "методика поверки". Хочется применить пределы, которые там указаны, при реальных измерениях, как погрешности.

Предположим.
Тогда, вернувшись, например, к п.3) из #172 : либо в методичке формула приведена неправильно и, значит, методичка написана некорректно, либо рассматривать эти пределы как погрешности нельзя.
Нет?
А вообще-то что имели в виду авторы методички - лучше бы, наверное, у них спросить...

 

[dea135]

Хотя вот хороший вопрос. Если суммировать ряд 1, -1, 1, -1 и т.д. до бесконечности, какая будет сумма?

а что такое бесконечность? это из разряда почему Ахиллесс не догонит черепаху. а если серьезно, то вы привели пример, когда погрешность (суммируемая величина) изменяется квантами, а мы рассматривали случай измерения линейкой, когда реальная погрешность распределена равномерно в пределах половины цены линейки. никаких квантов там нет. поэтому матожидание и среднеарифметическое суммирования таких погрешностей будет стремиться к нулю, конечно, при 1000 суммирований ноля не будет, но в пределе ноль. с квантами, действительно, по другому там принципиально нельзя опустится ниже значения кванта.

 

[metelev]

А вообще-то что имели в виду авторы методички - лучше бы, наверное, у них спросить...

Это да, самое правильное было бы. Но с другой стороны я не только в этой методичке подобную запись встречал. Вот например линейный энкодер ±(0,5+L/2000) мкм Так что похоже на какой-то метрологический стандарт.

 

[dea135]

Если вернуться к погрешностям, и использовать правильную формулу это тоже видно. Если погрешность на одном шаге S, то за N шагов будет S*sqrt(N), потому что общая погрешность складывается из суммы квадратов S, один S^2 на каждое измерение.

почему? ну вот возьмите и примените это правило к вашему примеру с рядом 1,-1,1 -1......
поясняю. вот мой пример выше с отрезанием от рулона. только пусть вы отрезаете один раз на миллиметр больше (+1), а второй на миллиметр меньше (-1) так какая погрешность у вас будет в рулоне после 1000 отрезов?- 1000. получается, то что режется в рулоне может быть на законных основаниях уменьшено на эту величину погрешности? работать на такой "хлеборезке" удача.
формула эта с квадратами она оценочная, она менее жесткая чем суммирование по модулю, но бездумно применять ее ко всему не следует- там где можно погрешность оценить точнее, там нужно это делать.

 

[dea135]

похоже на какой-то метрологический стандарт.

так эта формула следует из физики, а не из стандарта. так же как и с толщиномером.